Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$\sqrt[n]{n!}>\frac n3 \quad (n=2,3,...)$
Bewijs :
Deel I :	Voor de kleinste n-waarde, nl. 2 is LL = ≈ 1,4 RL = ≈ 0,67 LL > RL → O.K.

Nu gaan we bewijzen dat S( k ) ⇒ S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor n = k+1

Deel II :	Gegeven :	$\sqrt[k]{(k)!}\; >\; \frac {k}3 \; \Leftrightarrow \;\: {k\, }!\; >\left ( \frac{k}{3} \right )^{k}$
	Te bewijzen :	$\sqrt[k+1]{(k+1)!}\; >\; \frac {k+1}3 \; \Leftrightarrow \;\: (k+1)\,!\; > \left ( \frac{k+1}{3} \right )^{k+1}$
	Bewijs :	^{Uit het gegeven volgt ook nog} $(k+1) \, ! \;>\; \frac{k^k}{3^k}(k+1)$
		__ ^{Nu valt er te bewijzen dat} $\frac{k^k}{3^k}(k+1)\; >\; \frac{(k+1)^{k+1}}{3^^{k+1}}$
		__ of (na ×3^k+1) 3.k^k(k+1) − (k+1)^k+1 > 0
		__ of (na : (k+1) ) 3.k^k − (k+1)^k > 0
		__ ^{of (na : k^k )} $3 - \frac{(k+1)^k}{k^k} > 0$
		__ ^of $3 - \left ( \frac{k+1}{k} \right )^k>0$
		__ ^of $3 - \left ( 1+\frac 1k \right )^k\, >\; 0 \quad (*)$
		$\text{Nu is } f(k) = (1+\frac 1k)^\frac 1k \text{ een stijgende functie}$ $\text{met limiet het getal e }\approx 2,7 \text{ zodat we}$ $\text{mogen besluiten dat } (1+\frac 1k)^k < 3 \text{ zodat (*) voldaan is}$

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 2 (Deel I),
n = 3 (Deel II), n = 4 (Deel II), n = 5 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP